题目内容

甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约．乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设甲面试合格的概率为 $数学公式$ ，乙、丙面试合格的概率都是 $数学公式$ ，且面试是否合格互不影响．
（Ⅰ）求至少有1人面试合格的概率；
（Ⅱ）求签约人数ξ的分布列和数学期望．

解：（Ⅰ）用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格．
由题意知A，B，C相互独立，
且 $\text{[math]}$ ．
至少有1人面试合格的概率是：
1-P（ $\text{[math]}$ ）
=1- $\text{[math]}$
=1- $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ．
（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3．
P（ξ=0）=P（ $\text{[math]}$ ）+P（ $\text{[math]}$ ）+P（ $\text{[math]}$ ）
= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ．
P（ξ=1）=P（A $\text{[math]}$ C）+P（ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
P（ξ=2）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
P（ξ=3）=P（ABC）=P（A）P（B）P（C）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
∴ξ的分布列是

ξ	0	1	2	3
P（ξ）	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

∴ξ的期望Eξ= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格．由题意知A，B，C相互独立，且 $\text{[math]}$ ．由至少有1人面试合格的概率是1-P（ $\text{[math]}$ ），能求出至少有1人面试合格的概率．（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3．分别求了P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2）和P（ξ=3），由此能求出ξ的分布列和ξ的期望Eξ．
点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，考查学生的运算能力，考查学生探究研究问题的能力，解题时要认真审题，理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，体现了化归的重要思想．