题目内容
【题目】已知函数
．
（1）设
，求函数
的单调增区间；
（2）设
，求证：存在唯一的
，使得函数
的图象在点
处的切线l与函数
的图象也相切；
（3）求证：对任意给定的正数a，总存在正数x，使得不等式
成立．
【答案】（1）
的单调增区间为（0，
]；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【解析】
（1）求出导函数
，在函数定义域内由
确定其增区间；
（2）先求出
在
处的切线方程，设这条切线与
的图象切于点
，由
，得出关于的方程，然后证明此方程的解在
上存在且唯一．
（3）把问题转化为
在
上有解，令
，则只要
即可．
（1）h（x）＝g（x）﹣x2＝lnx﹣x2，x∈（0，+∞）．
令
，
解得
．
∴函数h（x）的单调增区间为（0，]．
（2）证明：设x0＞1，
，可得切线斜率
，
切线方程为：
．
假设此切线与曲线y＝f（x）＝ex相切于点B（x1，
），f′（x）＝ex．
则k=，
∴
．
化为：x0lnx0﹣lnx0﹣x0－1＝0，x0＞1．
下面证明此方程在（1，+∞）上存在唯一解．
令u（x0）＝x0lnx0﹣lnx0﹣x0－1，x0＞1．
，在x0∈（1，+∞）上单调递增．
又u′（1）＝－1，
，
∴
在上有唯一实数解
，
，
，
递减，
时，
，递增，
而
，∴
在
上无解，
而
，∴在
上有唯一解．
∴方程在（1，+∞）上存在唯一解．
即：存在唯一的x0，使得函数y＝g（x）的图象在点A（x0，g（x0））处的切线l与函数y＝f（x）的图象也相切．
（3）证明：
，
令v（x）＝ex﹣x﹣1，x＞0．
∴v′（x）＝ex﹣1＞0，
∴函数v（x）在x∈（0，+∞）上单调递增，
∴v（x）＞v（0）＝0．
∴
，
∴不等式
，a＞0ex﹣x﹣1﹣ax＜0，
即H（x）＝ex﹣x﹣1﹣ax＜0，
由对任意给定的正数a，总存在正数x，使得不等式成立H（x）min＜0．
H（x）＝ex﹣x﹣1﹣ax，a，x∈（0，+∞）．
H′（x）＝ex﹣1﹣a，令ex﹣1﹣a＝0，
解得x＝
＞0，
函数H（x）在区间（0，）上单调递减，在区间（，+∞）上单调递增．
∵H（0）＝0，∴
．
∴存在对任意给定的正数a，总存在正数x，使得不等式成立．
