Question

若函数y=f（x）的值域是[

1

2

，4]，则函数F（x）=f（x）+

1

f(x)

的值域是（　　）

• A、[

  1

  2

  ，4]
• B、[

  5

  2

  ，

  17

  4

  ]
• C、[2，

  17

  4

  ]
• D、[4，

  17

  4

  ]

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：令t=f（x），t∈[

1

2

，4]，则y=F（x）=f（x）+

1

f(x)

=t+

1

t

，结合“对勾”函数的单调性，求出最值，可得函数F（x）=f（x）+

1

f(x)

的值域．

解答：解：令t=f（x），t∈[

1

2

，4]，
则y=F（x）=f（x）+

1

f(x)

=t+

1

t

，
∵y=t+

1

t

在[

1

2

，1]上单调递减，在[1，4]单调递增，
y|t=

1

2

=

5

2

，y|_t=4=

17

4

，
故当t=1时，函数F（x）取最小值2，t=4时，函数F（x）取最大值

17

4

，
∴函数F（x）=f（x）+

1

f(x)

的值域为[2，

17

4

]，
故选：C

点评：本题考查的知识点是函数的最值，及其几何意义，熟练掌握“对勾”函数的单调性，是解答的关键．