Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=2，a_n+1=2S_n+1（n∈N^*），则数列{a_n}的通项公式为

an=

2，n=1 5•3n-2，n≥2

．

Answer 1

分析：由a_n+1=2S_n+1①，得a_n=2S_n-1+1②，（n≥2），两式相减可得数列递推式，由递推式可判断该数列从第二项起构成等比数列，由此可得其通项公式．

解答：解：由a_n+1=2S_n+1①，得a_n=2S_n-1+1②，（n≥2），
①-②，得a_n+1-a_n=2a_n，（n≥2），即a_n+1=3a_n（n≥2），
又a₂=2S₁+1=5，a₁=2，所以a₂，a₃，a₄，…，成等比数列，公比为3，
所以n≥2时，an=a2•3n-2=5，又a₁=2，
所以an=

2，n=1 5•3n-2，n≥2

，
故答案为：an=

2，n=1 5•3n-2，n≥2

．

点评：本题考查由数列递推式求数列通项，属中档题，解决该题的关键是利用S_n与a_n的关系an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，消掉等式中的S_n．