Question

已知数列{a_n}中的相邻两项a₂k-1,a₂k是关于x的方程x²-(3k+2^k)x+3k·2^k=0的两个根,且a₂k-1≤a₂k(k=1,2,3,…).

(1)求a₁,a₃,a₅,a₇;

(2)求数列{a_n}的前2n项和S₂n;

(3)记f(n)=(+3),T_n=+++…+,求证:≤T_n≤ (n∈N^*).

Answer 1

解:(1)方程x²-(3k+2^k)x+3k·2^k=0的两个根为x₁=3^k,x₂=2^k.

当k=1时,x₁=3,x₂=2,∴a₁=2.

当k=2时,x₁=6,x₂=4,∴a₃=4.

当k=3时,x₁=9,x₂=8,∴a₅=8.

当k=4时,x₁=12,x₂=16,∴a₇=12.

(2)S_2n=a₁+a₂+…+a_2n=(3+6+…+3n)+(2+2²+…+2ⁿ)=+2ⁿ⁺¹-2.

(3)T_n=++…+,

∴T₁==,T₂=.

当n≥3时,

T_n=++…≥≥+-(+…+)

≥+(+…+)=+＞.

同时T_n=+…+≤+(+…+)

≤+(+…+)=＜.

综上所述,当n∈N^*时,≤T_n≤.