Question

椭圆一短轴顶点与两焦点的连接组成正三角形，且焦点到对应准线的距离等于3．过以原点为圆心，半焦距为半径的圆上任意一点P作该圆的切线l，且l与椭圆交于A、B两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）求的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据短轴顶点与两焦点的连接组成正三角形可求得b和c的关系，根据点到对应准线的距离等于3可知a和c的关系式，最后联立求得a和b，则椭圆的方程可得．
（2）令P（x，y），令A（x₁，x₂），B（x₂，y₂），进而可表示l的方程，先看当y=0时，把直线方程与椭圆方程联立消去y，根据韦达定理得到x₁+x₂和x₁x₂的表达式，进而表示出根据x²的范围求得的范围；再看y=0，x²=1时，可分别求得A，B的坐标，则的值可求得，最后综合可得答案．
解答：解：（1）由题意得，
求得a=2，b=，c=1
∴椭圆方程为．

（2）令P（x，y），因圆的方程为x²+y²=1
∴l的方程为：xx+yy=1，令A（x₁，x₂），B（x₂，y₂）
①当y=0时，由得（3+x²）x²-8xx+12x₂-8=0
∴x₁+x₂=，x₁x₂=
=x₁x₂+y₁y₂=-
∵0≤x²＜1
∴-≤＜-
②当y=0，x²=1时，可求得A（-1，），B（-1，-），或A（1，），B（1，-）
此时都有=-
综上-≤≤-
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生对问题的综合分析和基本的运算能力．