Question

（本小题满分12分）已知椭圆的左右焦点分别为、，短轴两个端点为、，且四边形是边长为2的正方形。
（1）求椭圆方程；
（2）若分别是椭圆长轴的左右端点，动点满足，连接，交椭圆于点；证明：为定值；

Answer 1

解：（1）；（2）见解析。

本试题主要是考查了椭圆的方程以及直线与椭圆的 位置关系的运用。
（1）利用已知条件得到，，，进而得到椭圆方程。
（2）因为，设，则。
直线：，即，那么联立方程则利用韦达定理和向量的数量积公式得到结论。
解：（1），，椭圆方程为。4分
（2），设，则。
直线：，即，……………………………6分
代入椭圆得。…………8分
，。，…10分（定值）。…………12分