Question

（本小题12分）椭圆的左、右焦点分别为、，直线经过点与椭圆交于两点。
（1）求的周长；
（2）若的倾斜角为，求的面积。

Answer 1

（1），的周长为。
（2）。

本题考查三角形周长的求法和三角形面积的计算，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，灵活运用椭圆的性质，注意椭圆定义、韦达定理在解题中的合理运用．
（1）由椭圆的定义，得AF₁+AF₂=2a，BF₁+BF₂=2a，又AF₁+BF₁=AB，所以，△ABF₂的周长=AB+AF₂+BF₂=4a．再由a²=4，能导出△ABF₂的周长．
（2）由F₁（-1，0），AB的倾斜角为 ，知直线AB的方程为y=x+1．由
消去x，得7y²-6y-9=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），借助韦达定理能够求出△ABF₂的面积．
解：（1）由椭圆的定义，得，， ----------2分
又，所以的周长为。--------4分
又因为，所以，故的周长为。-----------5分
（2）由条件，得，因为的倾斜角为，所以斜率为，
故直线的方程为。-----------------6分
由消去，得， ------------------8分
设，解得， -------------10分
所以。------------------12分