Question

已知点P是椭圆

x2

16

+

y2

12

=1(y≠0)上的动点，F₁，F₂为椭圆的两个焦点，O是坐标原点，若M是∠F₁PF₂平分线上的一点，且F₁M⊥MP，则OM的取值范围是

[0，2）

．

Answer 1

分析：利用M是∠F₁PF₂平分线上的一点，且F₁M⊥MP，判断OM是三角形F₁F₂N的中位线，把OM用PF₁，PF₂表示，再利用椭圆的焦半径公式，转化为用椭圆上点的横坐标表示，借助椭圆的范围即可求出OM的范围

解答：解：如图，延长PF₂，F₁M，交与N点，∵PM是∠F₁PF₂平分线，且F₁M⊥MP，
∴|PN|=|PF₁|，M为F₁F₂中点，
连接OM，∵O为F₁F₂中点，M为F₁F₂中点
∴|OM|=

1

2

|F₂N|=

1

2

||PN|-|PF₂||=

1

2

||PF₁|-|PF₂||
∵在椭圆

x2

16

+

y2

12

=1(y≠0)中，设P点坐标为（x₀，y₀）
则|PF₁|=a+ex₀，|PF₂|=a-ex₀，
∴||PF₁|-|PF₂||=|a+ex₀+a-ex₀|=|2ex₀|=|x₀|
∵P点在椭圆

x2

16

+

y2

12

=1(y≠0)上，∴|x₀|∈[0，4]，
又∵当|x₀|=4时，F₁M⊥MP不成立，∴|x₀|∈[0，4）
∴|OM|∈[0，2）
故答案为[0，2）

点评：本题主要考查了椭圆的焦半径公式在求范围中的应用，做题时要善于发现规律，把所求问题转化为熟悉的知识．