题目内容
已知F是椭圆C：
+
=1的左焦点，过原点O的直线交椭圆C于P，Q两点，若|PF|•|QF|=9，则|PQ|=
| x2 |
| 16 |
| y2 |
| 7 |
2
| 14 |
2
．| 14 |
分析：设P点的坐标为（m，n），利用椭圆的第二定义可表示出|PF|，|QF|，再利用|PF|•|QF|=9，可求得m，继而可求得n，从而可求得|PQ|．
解答：解：∵F是椭圆C：
+
=1的左焦点，
∴F（-3，0），离心率e=
=
；
∵过原点O的直线交椭圆C于P，Q两点，设P点的坐标为（m，n），
则Q（-m，-n）．
设P点在该椭圆的左准线x=-
=-
上的射影为P′，Q点在该椭圆的左准线x=-
上的射影为Q′，
由椭圆的第二定义得：
=
=e=
，
∴|PF|=
|PP′|=
[m-（-
）]=
（m+
），
同理可得，|QF|=
（
-m），
∵|PF|•|QF|=9，
∴
（m+
）•
（
-m）=9，
∴m2=
．
∵P（m，n）为椭圆C：
+
=1的点，
∴
+
=1，
∴n2=
，
∴|PQ|2=4m2+4n2=4×
=56，
∴|PQ|=2
．
故答案为：2
．
| x2 |
| 16 |
| y2 |
| 7 |
∴F（-3，0），离心率e=
| c |
| a |
| 3 |
| 4 |
∵过原点O的直线交椭圆C于P，Q两点，设P点的坐标为（m，n），
则Q（-m，-n）．
设P点在该椭圆的左准线x=-
| a2 |
| c |
| 16 |
| 3 |
| 16 |
| 3 |
由椭圆的第二定义得：
| |PF| |
| |PP′| |
| |QF| |
| |QQ′| |
| 3 |
| 4 |
∴|PF|=
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 16 |
| 3 |
| 3 |
| 4 |
| 16 |
| 3 |
同理可得，|QF|=
| 3 |
| 4 |
| 16 |
| 3 |
∵|PF|•|QF|=9，
∴
| 3 |
| 4 |
| 16 |
| 3 |
| 3 |
| 4 |
| 16 |
| 3 |
∴m2=
| 112 |
| 9 |
∵P（m，n）为椭圆C：
| x2 |
| 16 |
| y2 |
| 7 |
∴
| ||
| 16 |
| n2 |
| 7 |
∴n2=
| 14 |
| 9 |
∴|PQ|2=4m2+4n2=4×
| 126 |
| 9 |
∴|PQ|=2
| 14 |
故答案为：2
| 14 |
点评：本题考查椭圆的第二定义，考查转化思想与方程思想，考查运算能力，求得P点的坐标是关键，也是难点，属于难题．
练习册系列答案
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