Question

直线l过点P(－2,1)且斜率为k(k>1)，将直线l绕P点按逆时针方向旋转45°得到直线m，若直线l和m分别和y轴交于Q、R两点．

(1)用k表示直线m的斜率；

(2)当k为何值时，△PQR的面积最小，并求面积最小时直线l的方程．

Answer 1

解：(1)设直线l的倾斜角为α，则直线m的倾斜角为α＋45°，

故k_m＝tan(45°＋α)＝＝.

(2)由题意及(1)可知直线l：y－1＝k(x＋2)，直线m：y－1＝ (x＋2)，故Q(0,2k＋1)，R.

∴|RQ|＝|2k＋1－|＝2k＋＋2

＝2(k－1)＋＋4.

∴S_△PQR＝×2×

＝2(k－1)＋＋4.

∵k>1，∴k－1>0，

∴S_△PQR≥4＋4.

当且仅当2(k－1)＝，即k＝＋1时等号成立，

此时直线l方程为(＋1)x－y＋2＋3＝0.