Question

【题目】已知动圆过定点，且与定直线相切．

（1）求动圆圆心的轨迹的方程；

（2）过点的任一条直线与轨迹交于不同的两点，试探究在轴上是否存在定点（异于点），使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】(1) ，（2）见解析

【解析】

（1）根据抛物线的定义即可得解；

（2）假设存在点满足题设条件，由题意可得直线与的斜率互为相反数，即，设，，设,再由直线与抛物线联立，利用韦达定理代入求解即可.

（1）解法1：依题意动圆圆心到定点的距离与到定直线的距离相等，

由抛物线的定义，可得动圆圆心的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 其中．

动圆圆心的轨迹的方程为．

解法2：设动圆圆心 ，依题意：.

化简得：，即为动圆圆心的轨迹的方程

（2）解：假设存在点满足题设条件．

由可知，直线与的斜率互为相反数，

即 ①

直线的斜率必存在且不为，设,

由得．

由,得或．

设，则．

由①式得 ,

,即．

消去，得,

,

,

存在点使得．