Question

定义在R上的函数f（x）满足f（-x）=f（x），f（x+1）=

2

f(x)

（f（x）≠0），且在区间（2013，2014）上单调递增，已知α，β是锐角三角形的两个内角，则f（sinα）、f（cosβ）的大小关系是（　　）

• A、f（sinα）＜f（cosβ）
• B、f（sinα）＞f（cosβ）
• C、f（sinα）=f（cosβ）
• D、以上情况均有可能

Answer 1

分析：首先根据条件f（x+1）=

2

f(x)

，求出函数的最小正周期2，再由函数f（x）在区间（2013，2014）上单调递增得到函数f（x）在（-1，0）上的单调性，再由f（-x）=f（x）得到函数f（x）在（0，1）上的单调性，根据α，β是锐角三角形的两个内角，得到α+β＞

π

2

即α＞

π

2

-β，根据正弦函数的单调性和诱导公式得到sinα＞cosβ，再由f（x）在（0，1）的单调性，即可判断f（sinα）、f（cosβ）的大小关系．

解答：解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=

2

f(x)

（f（x）≠0），
∴f（x+1）•f（x）=2，f（x+2）•f（x+1）=2，即f（x+2）=f（x），
∴函数f（x）是最小正周期为2的函数，
∵函数f（x）在区间（2013，2014）上单调递增，
∴函数f（x）在区间（-1，0）上也是单调递增，
∵定义在R上的函数f（x）满足f（-x）=f（x），
∴函数f（x）在区间（0，1）上是单调递减，
∵α，β是锐角三角形的两个内角，
∴α+β＞

π

2

，即α＞

π

2

-β，
由正弦函数的单调性得sinα＞sin(

π

2

-β)，
再由三角函数的诱导公式得sinα＞cosβ，
∵sinα，cosβ∈（0，1），
∴由f（x）在（0，1）上递减得f（sinα）＜f（cosβ），
故选：A．

点评：本题主要考查函数的周期性、单调性及应用，以及三角函数的单调性和诱导公式的运用，灵活运用定义和公式，是解决问题的关键．