Question

（本小题满分12分）如图，四边形与均为菱形， ，且，

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：AE∥平面FCB；
（Ⅲ）求二面角的余弦值。

Answer 1

（Ⅰ）只需证，；（Ⅱ）只需证平面//平面；（Ⅲ）。

试题分析：（Ⅰ）证明：设与相交于点，连结，
菱形中， ，且为中点，
又 ，所以 ， 又，
所以 平面；
（Ⅱ）证明：因为四边形与均为菱形，
所以//，//，，
所以 平面//平面,又平面，
∴ AE∥平面FCB；   
（Ⅲ）解：菱形中，，为中点，所以，
故两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设，
则，，．
设平面的法向量为，则有即 
取，得；
易知平面的法向量为，
由于二面角是锐二面角，所以二面角的余弦值为。
点评：本题主要考查了空间的线面平行，线面垂直的证明即二面角的求法，充分考查了学生的逻辑推理能力，空间想象力，以及识图能力。