Question

4．若f（x）为定义在区间G上的任意两点x₁，x₂和任意实数λ（0，1），总有f（λx₁+（1-λ）x₂）≤λf（x₁）+（1-λ）f（x₂），则称这个函数为“上进”函数，下列函数是“上进”函数的个数是（　　）
①f（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$，②f（x）=$\sqrt{x}$，③f（x）=$\frac{ln（x+1）}{x}$，④f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$．

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 由新定义可得函数在区间G上即为严格下凸函数，求f″（x＞0恒成立即可判断．

解答 解：由区间G上的任意两点x₁，x₂和任意实数λ（0，1），
总有f（λx₁+（1-λ）x₂）≤λf（x₁）+（1-λ）f（x₂），
等价为对任意x∈G，有f″（x）＞0成立（f″（x）是函数f（x）导函数的导函数），
①f（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$的导数f′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，f″（x）=$\frac{-2+x}{{e}^{x}}$，故在（2，3）上大于0恒成立，故①为“上进”函数；
②f（x）=$\sqrt{x}$的导数f′（x）=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$，f″（x）=-$\frac{1}{4}$•$\frac{1}{\sqrt{{x}^{3}}}$＜0恒成立，故②不为“上进”函数；
③f（x）=$\frac{ln（x+1）}{x}$的导数f′（x）=$\frac{x-（x+1）ln（x+1）}{{x}^{2}（x+1）}$，f″（x）=$\frac{-3{x}^{2}-2x+2（x+1）^{2}ln（x+1）}{{x}^{3}（x+1）^{2}}$＞0恒成立，
故③为“上进”函数；
④f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$的导数f′（x）=$\frac{1-{x}^{2}}{（1+{x}^{2}）^{2}}$，f″（x）=$\frac{2{x}^{3}-6x}{（1+{x}^{2}）^{2}}$，当x∈（2，3）时，f″（x）＞0恒成立．
故④为“上进”函数．
故选B．

点评 本题考查新定义的理解和运用，同时考查导数的运用，以及不等式恒成立问题，属于中档题．