Question

（本小题满分13分）
已知点为抛物线: 的焦点，为抛物线上的点，且．

（Ⅰ）求抛物线的方程和点的坐标；
（Ⅱ）过点引出斜率分别为的两直线，与抛物线的另一交点为，与抛物线的另一交点为，记直线的斜率为．
（ⅰ）若，试求的值；
（ⅱ）证明：为定值．

Answer 1

(1)
(2),在第一问的基础上，分析得到三个斜率的关系式，然后化简变形得到证明。

试题分析：解：（Ⅰ）∵，∴
∴抛物线：．
又在抛物线上，
∴．∴．
（Ⅱ）（ⅰ）设直线，
∵与抛物线交于、两点，∴.
由得：，
设，则，
∴，即.
同理可得.
，.
∴．
（ⅱ）证明：由（ⅰ）可知

，，即证得为定值．……13分
点评：本题主要通过研究抛物线的标准方程、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归转化思想等