Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形， .

（1）求证：平面平面；

（2）若，试判断棱上是否存在与点不重合的点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1)见解析(2) 棱上不存在与点不重合的点，使得直线与平面所成角的正弦值为.

【解析】试题分析：（1）第（1）问，把平面平面平面 (2)第（2）问，先利用向量法得到直线与平面所成角的方程，再探究方程的解的情况，从而得到解答.

试题解析：

（1）因为四边形是平行四边形， ，所以，

又，所以，所以，

又，且，所以平面，

因为平面，所以平面平面.

（2）由（1）知平面，

如图，分别以所在直线为轴、轴，平面内过点且与直线垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，

则

由， ，可得，

所以，

假设棱上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，

设，

则， ，

设平面的法向量为，

则,即，令，可得，

所以平面的一个法向量为，

设直线与平面所成的角为，则

，

整理得，因为，所以，故无解，

所以棱上不存在与点不重合的点，使得直线与平面所成角的正弦值为.