Question

【题目】如图，已知椭圆，椭圆的长轴长为8，离心率为．

求椭圆方程；

椭圆内接四边形ABCD的对角线交于原点，且，求四边形ABCD周长的最大值与最小值．

Answer 1

【答案】（1）； （2）四边形ABCD的周长的最小值为，最大值为20．.

【解析】

（1）由题意可得a＝4，运用离心率公式可得c，再由a，b，c的关系可得b，进而得到椭圆方程；

（2）由题意的对称性可得四边形ABCD为平行四边形，运用向量的数量积的性质，可得22，即有四边形ABCD为菱形，即有AC⊥BD，讨论直线AC的斜率为0，可得最大值；不为0，设出直线AC的方程为y＝kx，（k＞0），则BD的方程为yx，代入椭圆方程，求得A，D的坐标，运用两点的距离公式，化简整理，由二次函数的最值求法，可得最小值．

由题意可得，即，

由，可得，，

即有椭圆的方程为；

由题意的对称性可得四边形ABCD为平行四边形，

由，可得，

即，

可得，即有四边形ABCD为菱形，

即有，

设直线AC的方程为，，则BD的方程为，

代入椭圆方程可得，

可设，

同理可得，

即有

，

令，

即有，

由，

即有，即时，取得最小值，且为；

又当AC的斜率为0时，BD为短轴，即有ABCD的周长取得最大值，且为20．

综上可得四边形ABCD的周长的最小值为，最大值为20．