Question

（1）已知，求证：；
（2）已知，且，
求证：．

Answer 1

证明见解析.

试题分析：（1）本题证明只要利用作差法即可证得；（2）这个不等式比较复杂，考虑到不等式的形式，我们可用数学归纳法证明，关键在时的命题如何应用时的结论，中要把两个括号合并成一个，又能应用时的结论证明时的结论，当时，结论已经成立，当时，在中可找到一个，不妨设为，使，即，从而有
，这样代入进去可证得时结论成立.
（1）因为，所以，即；             2分
（2）证法一（数学归纳法）：（ⅰ）当时，，不等式成立．      4分
（ⅱ）假设时不等式成立，即成立.    5分
则时，若，则命题成立；若，则中必存在一个数小于1，不妨设这个数为，从而，即．同理可得，
所以



 
故时，不等式也成立．                           9分
由（ⅰ）（ⅱ）及数学归纳法原理知原不等式成立.                    10分
证法二：（恒等展开）左右展开，得

由平均值不等式，得
                            8分
故

．                                  10分