Question

9．已知△ABC内接于圆O，且∠A=60°，若$\overrightarrow{AO}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}（x、y∈R）$，则x+2y的最大值为（　　）

• A． $\frac{2}{3}$
• B． 1
• C． $\frac{1}{2}$
• D． 2-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$

Answer 1

分析 如图所示．过点O分别作OD⊥AB，OE⊥AC，其垂足分别为D，E，则D，E分别为弦AB，AC的中点．由∠BAC=60°，可得$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{2}$bc．根据$\overrightarrow{AO}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}（x、y∈R）$，可得$\overrightarrow{AO}$$•\overrightarrow{AB}$=x${\overrightarrow{AB}}^{2}$+y$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$，化为：$\frac{1}{2}{c}^{2}$=xc²+$\frac{1}{2}y$bc．由$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}$=x$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$+y${\overrightarrow{AC}}^{2}$，化为：$\frac{1}{2}{b}^{2}$=$\frac{1}{2}$bcx+yb²．化简利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：如图所示．
过点O分别作OD⊥AB，OE⊥AC，其垂足分别为D，E，
则D，E分别为弦AB，AC的中点．
∵∠BAC=60°，
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{2}$bc．
∵$\overrightarrow{AO}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}（x、y∈R）$，
∴$\overrightarrow{AO}$$•\overrightarrow{AB}$=x${\overrightarrow{AB}}^{2}$+y$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$，化为：$\frac{1}{2}{c}^{2}$=xc²+$\frac{1}{2}y$bc，即c=2xc+yb．
$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}$=x$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$+y${\overrightarrow{AC}}^{2}$，化为：$\frac{1}{2}{b}^{2}$=$\frac{1}{2}$bcx+yb²，即b=cx+2yb．
则x+2y=$\frac{2c-b}{3c}$+$\frac{4b-2c}{3b}$=2-$\frac{1}{3}$$（\frac{b}{c}+\frac{2c}{b}）$≤2-$\frac{1}{3}$×$2\sqrt{\frac{b}{c}×\frac{2c}{b}}$=2-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．当且仅当b=$\sqrt{2}$c时取等号．
故选：D．

点评 本题考查了圆的性质、垂径定理、向量的数量积运算性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．