Question

4．若某正棱台的底面是正方形，上底面边长为4cm，下底面边长为10cm，高为4cm，求此正棱台的全面积和体积．

Answer 1

分析 先求出${S}_{1}={4}^{2}=16$，${S}_{2}=1{0}^{2}=100$，再求出斜率为5，此正棱台的全面积S=S₁+S₂+$\frac{上下底周长和}{2}$×斜高，体积V=$\frac{1}{3}（{S}_{1}+{S}_{2}+\sqrt{{S}_{1}{S}_{2}}）•h$，由此能求出结果．

解答 解：∵正棱台的底面是正方形，上底面边长为4cm，下底面边长为10cm，高为4cm，
∴${S}_{1}={4}^{2}=16$，${S}_{2}=1{0}^{2}=100$，
如图，O₁E₁=OG=2，EG=OE-OG=5-2=3，
E₁G=O₁O=4，
∴E₁E=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
∴此正棱台的全面积S=S₁+S₂+$\frac{4×4+4×10}{2}×5$=16+100+140=256（cm²）．
∴此正棱台体积V=$\frac{1}{3}（{S}_{1}+{S}_{2}+\sqrt{{S}_{1}{S}_{2}}）•h$
=$\frac{1}{3}（16+100+\sqrt{16×100}）×4$=208（cm³）．

点评 本题考查正四棱台的全面积和体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．