Question

已知函数f(x)=

a

a2-1

(ax-a-x)，（a＞0，a≠1）
（1）判断并证明f（x）的单调性；
（2）若当x∈（-∞，2）时，f（x）-4＜0恒成立，求a得取值范围．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）分a＞1和 0＜a＜1两种情况，利用函数的单调性的定义，证明f（x）在R上的单调性．
（2）因为f（x）在（-∞，2）单调递增，f（x）-4＜0恒成立，可得

a

a2-1

(a2-a-2)≤4，由此解得a的范围．

解答： 解：（1）f（x）在R上是增函数．
证明：任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂ ，
由于f(x1)-f(x2)=

a

a2-1

(ax1-a-x2)-

a

a2-1

(ax2-a-x2) 
=

a

a2-1

(ax1-ax2)•

ax1ax2+1

ax1ax2

，
由题设可得 ax1ax2+1＞0，ax1ax2＞0，
当a＞1时，因为x₁＜x₂，ax1-ax2＜0，

a

a2-1

＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），∴f（x）在R上是增函数．
当0＜a＜1时，因为x₁＜x₂，ax1-ax2＞0，

a

a2-1

＜0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），∴f（x）在R上是增函数．
综上，f（x）在R上是增函数．
（2）因为f（x）在（-∞，2）单调递增，f（x）-4＜0恒成立，
所以

a

a2-1

(a2-a-2)≤4，解得 2-

3

≤a≤2+

3

且a≠1，
故a的范围为[2-

3

，1）∪（1，2+

3

]．

点评：本题主要考查函数的单调性的判断和证明，函数的恒成立问题．