Question

（本小题满分14分）如图，是边长为的正方形，是矩形，平面平面,为的中点．

（1）求证：//平面；

（2）若三棱锥的体积为，求二面角的正切值．

Answer 1

（1）见解析；（2） 求二面角的正切值为．

【解析】

试题解析：（1） 连接 AE，设BF∩AE＝O，连接OG，

∵四边形形 ABEF 是矩形，∴O为 AE的中点，

∵G 为EC的中点 ，∴OG 为△OAC 的中位线，

∴AC //OG 2分

∵OG平面BFG， AC平面BFG

∴AC //平面BFG 4分

（2） 平面ABCD⊥平面ABEF，ABEF 是矩形,

∴BE⊥AB ,又平面ABCD∩平面ABEF＝AB，

∴BE⊥面ABCD，同理可得BC⊥面ABEF 7 分

∵BC∩BE＝B，∴AB⊥面BCE ,则三棱柱 AFD-BEC 是直三棱柱，

∴ DC⊥面BEC， DC平面DCEF，

∴平面DCEF⊥平面BEC，又平面DCEF∩平面BEC＝EC，

作BH⊥EC，垂足为H，则BH⊥平面DCEF， 9 分

设BE＝a，，

∴? 10分

过点G 作GQ⊥BE ,垂足为Q,过点Q作QM⊥OE ，连接GM，

则∠GMQ为二面角E-BF-G的平面角 12分

又BC＝BE＝3, ，∴ 14分

向量法：平面ABCD⊥平面ABEF， ABEF是矩形，

∴BE⊥AB，又平面ABCD∩平面ABEF＝AB，

∴BE⊥面ABCD，同理可得BC⊥面ABEF，

∵BC∩BE＝B，∴AB⊥面BCE，则三棱柱AFD-BEC是直三棱柱，

∴AB，BE，BC两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系： 9 分

则B（0,3,0），F（3,0,0），E（3,3,0），，

∴ 10分

设平面的法向量为，由，

得 ，取x＝1，∴ 12分

又平面BFE 的一个法向量 13 分

∴，

∴所求二面角的平面角为锐角正切值为 14分

考点：考查了线面平行的判定，求二面角．