Question

18．设P为有公共焦点F₁，F₂的椭圆C₁与双曲线C₂的一个交点，且PF₁⊥PF₂，椭圆C₁的离心率为e₁，双曲线C₂的离心率为e₂，若3e₁=e₂，则e₁=$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

Answer 1

分析 根据椭圆的几何性质可得，${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=b₁²tanθ，根据双曲线的几何性质可得，${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{{b}_{2}^{2}}{tanθ}$以及离心率以及a，b，c的关系即可求出答案．

解答 解：设∠F₁PF₂=2θ
根据椭圆的几何性质可得，${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=b₁²tanθ=b₁²，
∵e₁=$\frac{c}{{a}_{1}}$，
∴a₁=$\frac{c}{{e}_{1}}$，
∴b₁²=a₁²-c²=c²（$\frac{1}{{e}_{1}^{2}}$-1）
根据双曲线的几何性质可得，${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{{b}_{2}^{2}}{tanθ}$=b₂²，
∵e₂=$\frac{c}{{a}_{2}}$
a₂=$\frac{c}{{e}_{2}}$
∴b₂²=c²-a₂²=c²（1-$\frac{1}{{e}_{2}^{2}}$），
∴c²（$\frac{1}{{e}_{1}^{2}}$-1）=c²（1-$\frac{1}{{e}_{2}^{2}}$），
即$\frac{1}{{e}_{1}^{2}}$+$\frac{1}{{e}_{2}^{2}}$=2，
∵3e₁=e₂，
∴e₁=$\frac{\sqrt{5}}{3}$
故答案为：$\frac{\sqrt{5}}{3}$

点评 本题考查了圆锥曲线的几何性质，以及椭圆和双曲线的简单性质，属于中档题．