Question

已知函数f(x)＝x³＋3|x－a|(a＞0)，若f(x)在[－1,1]上的最小值记为g(a)．

(1)求g(a)；

(2)证明：当x∈[－1,1]时，恒有f(x)≤g(a)＋4.

Answer 1

①当0＜a＜1时，

若x∈[－1，a]，则f(x)＝x³－3x＋3a，f′(x)＝3x²－3＜0，故f(x)在(－1，a)上是减函数；

若x∈[a,1]，则f(x)＝x³＋3x－3a，f′(x)＝3x²＋3＞0，故f(x)在(a,1)上是增函数．

所以g(a)＝f(a)＝a³.

②当a≥1时，有x≤a，则f(x)＝x³－3x＋3a，f′(x)＝3x²－3＜0，故f(x)在(－1,1)上是减函数，所以g(a)＝f(1)＝－2＋3a.

综上，g(a)＝

(2)证明　令h(x)＝f(x)－g(a)，

①当0＜a＜1时，g(a)＝a³.

若x∈[a,1]，h(x)＝x³＋3x－3a－a³，得h′(x)＝3x²＋3，则h(x)在(a,1)上是增函数，所以，h(x)在[a,1]上的最大值是h(1)＝4－3a－a³，且0＜a＜1，所以h(1)≤4.故f(x)≤g(a)＋4；

若x∈[－1，a]，h(x)＝x³－3x＋3a－a³，得h′(x)＝3x²－3，则h(x)在(－1，a)上是减函数，所以，h(x)在[－1，a]上的最大值是h(－1)＝2＋3a－a³.

令t(a)＝2＋3a－a³，则t′(a)＝3－3a²＞0，

知t(a)在(0,1)上是增函数．所以，t(a)＜t(1)＝4，即h(－1)＜4.

故f(x)≤g(a)＋4.

②当a≥1时，g(a)＝－2＋3a，故h(x)＝x³－3x＋2，得h′(x)＝3x²－3，

此时h(x)在(－1,1)上是减函数，因此h(x)在[－1,1]上的最大值是h(－1)＝4.故f(x)≤g(a)＋4.

综上，当x∈[－1,1]时，恒有f(x)≤g(a)＋4.