Question

F₁、F₂为某椭圆的两个焦点，过F₂的直线交椭圆于P、Q两点，若PF₁⊥PQ，且|PF₁|=|PQ|，则椭圆的离心率e=

 

．

Answer 1

分析：设|PF₁|=t，则|PQ|=t，|F₁Q|=

2

t，根据椭圆定义可知|PF₁|+|PF₂|=|QF₁|+|QF₂|=2a，进而得|PF₁|+|PQ|+|F₁Q|=4a，求得|PF₂|关于t的表达式，进而利用韦达定理可知[（4-2

2

）a]²+[（2

2

-2）a]²=（2c）²求得a和c的关系．

解答：解：设|PF₁|=t，则|PQ|=t，|F₁Q|=

2

t，由椭圆定义有：|PF₁|+|PF₂|=|QF₁|+|QF₂|=2a
∴|PF₁|+|PQ|+|F₁Q|=4a，
化简得（

2

+2）t=4a，t=（4-2

2

）a
∴|PF₂|=2a-t=（2

2

-2）a
在Rt△PF₁F₂中，|F₁F₂|²=（2c）²
∴[（4-2

2

）a]²+[（2

2

-2）a]²=（2c）²
∴（

c

a

）²=9-6

2

∴e=

6

-

3

故答案为

6

-

3

．

点评：本题主要考查了椭圆的简单性质，考查了学生对椭圆定义的理解和运用．