Question

已知某椭圆的焦点是F₁（-4，0）、F₂（4，0），过点F₂并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F₁B|+|F₂B|=10，椭圆上不同的两点A（x₁，y₁）、C（x₂，y₂）满足条件：|F₂A|、|F₂B|、|F₂C|成等差数列．
（Ⅰ）求该椭圆的方程；
（Ⅱ）求弦AC中点的横坐标．

Answer 1

分析：（1）根据椭圆定义结合已知条件，得|F₁B|+|F₂B|=10=2a可得a=5．由c=4算出b=3，即可得出该椭圆的方程；
（2）由点B（4，y_B）在椭圆上，利用椭圆方程算出y_B=

9

5

．再根据圆锥曲线统一定义，算出|F₂A|、|F₂C|关于它们的横坐标x₁、x₂的式子，由|F₂A|、|F₂B|、|F₂C|成等差数列建立关系式算出x₁+x₂=8，最后利用中点坐标公式，即可算出弦AC中点的横坐标．

解答：解：（1）由椭圆定义及条件，可得
2a=|F₁B|+|F₂B|=10，得a=5．
又∵c=4，∴b=

a2-b2

=3．
因此可得该椭圆方程为

x2

25

+

y2

9

=1．
（2）∵点B（4，y_B）在椭圆上，
∴将x=4，代入椭圆方程求得y_B=

9

5

，可得|F₂B|=|y_B|=

9

5

．
∵椭圆右准线方程为x=

a2

c

，即x=

25

4

，离心率e=

c

a

=

4

5

．
根据圆锥曲线统一定义，得
|F₂A|=

4

5

（

25

4

-x₁），|F₂C|=

4

5

（

25

4

-x₂）．
由|F₂A|、|F₂B|、|F₂C|成等差数列，得2|F₂B|=|F₂A|+|F₂C|
即

4

5

（

25

4

-x₁）+

4

5

（

25

4

-x₂）=2×

9

5

，由此解得x₁+x₂=8．
设弦AC的中点为P（x₀，y₀），
可得中点横坐标为则x₀=

1

2

（x₁+x₂）=4．

点评：本题给出椭圆满足的条件，求椭圆的方程并依此求AC的中点横坐标，着重考查了椭圆的定义与标准方程、圆锥曲线的统一定义和等差数列的性质等知识，属于中档题．