Question

【题目】设是偶函数，且当时，

（1）当时，求的解析式；

（2）设函数在区间上的最大值为，试求的表达式；

（3）若方程有四个不同的实根，且它们成等差数列，试探求与满足的条件．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）与满足的条件为且，或且，或且.

【解析】

（1）设、，利用已知函数的解析式，即可求得结论；

（2）因为是偶函数，所以它在区间，上的最大值即为它在区间，上的最大值，分类讨论，即可求得结论；

（3）设这四个根从小到大依次为，，，，则当方程在，上有四个实根时，由，且，得，，从而，且要求对恒成立，由此可得结论．

解：（1）当时，

同理，当时，，

所以，当时，的解析式为

（2）因为是偶函数，所以它在区间上的最大值即为它在区间上的最大值，

①当时，在上单调递增，在上单调递减，所以

②当时，在与上单调递增，在与上单调递减，

所以此时只需比较与的大小．

（i）当时，，所以

（ii）当时，，

所以

③当时，在与上单调递增，在上单调递减，且，

所以.

综上所述，．

（3）设这四个根从小到大依次为，，，．

①当方程在上有四个实根时，由，且，得，，

从而，且要求对恒成立．

（i）当时，在上单调递减，所以对恒成立，

即适合题意．

（ii）当时，欲对恒成立，只要，

解得，故此时应满足．

②当方程在上有两个实根时，，且，，

所以必须满足，且，，解得．

③当方程在上无实根时，，，

由，，解得，，

所以，

且由，解得．

综上所述，与满足的条件为且，或且，

或且．