题目内容

已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1，（a，b∈R+）的离心率e∈[
2
，2]，则一条渐近线与实轴所成的角的取值范围是
 
．
分析：设经过一、三象限的渐近线与实轴所成的角为θ，则tanθ=
b
a
，根据 2≤
a2+b2
a2
≤4，求出
b
a
的范围，即得
tanθ的范围，从而得到θ 的范围．
解答：解：设经过一、三象限的渐近线与实轴所成的角为θ，则tanθ=
b
a
． 由题意可得   2≤
a2+b2
a2
≤4，
∴1≤
b
a
≤
3
，即 1≤tanθ≤
3
，∴
π
4
≤θ≤
π
3
，
故答案为：[
π
4
，
π
3
]．
点评：本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出1≤
b
a
≤
3
，是解题的关键．
练习册系列答案
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已知双曲线
x2
a2
-
y2
7
=1，直线l过其左焦点F1，交双曲线的左支于A、B两点，且|AB|=4，F2为双曲线的右焦点，△ABF2的周长为20，则此双曲线的离心率e=
 
．
已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且该双曲线的离心率为
5
，则该双曲线的渐近线方程为（　　）
已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(b＞a＞0)，O为坐标原点，离心率e=2，点M(
5
，
3
)在双曲线上．
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线l与双曲线交于P，Q两点，且
OP
•
OQ
=0．问：
1
|OP|2
+
1
|OQ|2
是否为定值？若是请求出该定值，若不是请说明理由．
（1）已知直线l：kx-y+1+2k=0（k∈R），则该直线过定点
（-2，1）
（-2，1）
；
（2）已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1的一条渐近线方程为y=
4
3
x，则双曲线的离心率为
5
3
5
3
．
已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）满足| 
a1
b
2
 |=0，且双曲线的右焦点与抛物线y2=4
3
x的焦点重合，则该双曲线的方程为
 
．

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