Question

【题目】在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ（ρ﹣2sinθ）＝1．

（1）求C的直角坐标方程；

（2）设直线l与y轴相交于P，与曲线C相交于A、B两点，且|PA|+|PB|＝2，求点O到直线l的距离．

Answer 1

【答案】（1）x2+（y﹣1）2＝2（2）

【解析】

（1）把曲线C的极坐标方程变形，结合ρ2＝x2+y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得C的直角坐标方程；

（2）直线l与y轴的交点为P（0，﹣1），曲线C是圆心为C（0，1），半径为的圆，由CP＝2可得P（0，﹣1）在圆外，将直线l的参数方程代入x2+（y﹣1）2＝2，得到关于t的一元二次方程，利用根与系数的关系及参数t的几何意义求解．

（1）∵曲线C的极坐标方程为ρ（ρ﹣2sinθ）＝1，

化简得：ρ2﹣2ρcosθ﹣1＝0，

由ρ2＝x2+y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，

得C的直角坐标方程为x2+y2﹣2y﹣1＝0，即x2+（y﹣1）2＝2；

（2）直线l与y轴的交点为P（0，﹣1），曲线C是圆心为C（0，1），半径为的圆，

∵CP＝2，∴P（0，﹣1）在圆外，

将直线l的参数方程代入x2+（y﹣1）2＝2，

得t2﹣4tsinα+2＝0．

∴t1+t2＝4sinα，又P（0，﹣1）在圆外，

∴t1，t2同号，

∴|PA|+|PB|＝|t1|+|t2|＝|t1+t2|＝|4sinα|＝2，

得|sinα|，可得直线l的斜率为．

设点O到直线l的距离为h，则h＝|OP|sin60°．

即点O到直线l的距离为．