Question

（2013•枣庄二模）已知函数f（x）=2f′（1）e^x-1-x，e≈2.7．
（1）已知函数f（x）的解析式及单调区间；
（2）若对任意的x∈[

1

2

，+∞)，

e

2

f(x)≥(a-

e

2

)x+1恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）把原函数求导，在导函数中取x=1得到f^′（1）的值，则函数解析式可求，由导函数分别大于0和小于0求出原函数的单调增区间和减区间；
（2）把函数f（x）的解析式代入

e

2

f(x)≥(a-

e

2

)x+1，分离变量a后构造辅助函数g（x）=

ex-1

x

(x≥

1

2

)，利用导函数求函数g（x）的最小值，则实数a的取值范围可求．

解答：解：（1）对f（x）求导，得f^′（x）=2f^′（1）e^x-1-1．
令x=1，得f^′（1）=2f^′（1）-1，解得f^′（1）=1．
从而f（x）=2e^x-1-x．
f^′（x）=2e^x-1-1．
f^′（x）＞0?2e^x-1-1＞0?x-1＞ln

1

2

?x＞1-ln2；
f^′（x）＜0?2e^x-1-1＜0?x＜1-ln2．
所以，f（x）的增区间为（1-ln2，+∞），减区间为（-∞，1-ln2）．
（2）当x≥

1

2

时，

e

2

f(x)≥(a-

e

2

)x+1?

e

2

(2ex-1-x)≥(a-

e

2

)x+1
?e^x≥ax+1?a≤

ex-1

x

．
令g（x）=

ex-1

x

(x≥

1

2

)，则g′(x)=

(x-1)ex+1

x2

．
令h（x）=(x-1)ex+1(x≥

1

2

)，则h^′（x）=xe^x＞0．
所以，函数h（x）在[

1

2

，+∞）上单调递增．
所以h(x)≥h(

1

2

)=1-

e

2

=

4 - e

2

＞0．
所以当x≥

1

2

时，g′(x)=

h(x)

x2

＞0．
所以，g（x）=

ex-1

x

在[

1

2

，+∞）上单调递增.g(x)min=g(

1

2

)=2(

e

-1)．
由题意，a≤2(

e

-1)．
故所求实数a的取值范围是a≤2(

e

-1)．

点评：本题考查了函数的解析式的求解及常用方法，考查了利用导数研究函数的，训练了分离变量法和构造函数法求变量的取值范围，考查了利用导数求函数在闭区间上的最值，解答此题的关键是理解原函数解析式中的f^′（1）为常数，是难题．