题目内容
设两个非零向量
和
不共线．
（1）如果
=
+
，
=2
+8
，
=3
-3
，求证：A、B、D三点共线；
（2）若|
|=2，|
|=3，
与
的夹角为60°，是否存在实数m，使得m
+
与
-
垂直？
| e1 |
| e2 |
（1）如果
| AB |
| e1 |
| e2 |
| BC |
| e1 |
| e2 |
| CD |
| e1 |
| e2 |
（2）若|
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
证明：（1）∵
=
+
+
=（
+
）+（2
+8
）+（3
-3
）=6（
+
）=6
∴
∥
且
与
有共同起点，∴A、B、D三点共线
（2）假设存在实数m，使得m
+
与
-
垂直，则（m
+
）•（
-
）=0
∴m
2+(1-m)
•
-
2=0，
∵|
|=2，|
|=3，
与
的夹角为60°
∴
2=|
|2=4，
2=|
|2=9，
•
=|
||
|cosθ=2×3×cos60°=3
∴4m+3（1-m）-9=0，
∴m=6，故存在实数m=6，使得m
+
与
-
垂直．
| AD |
| AB |
| BC |
| CD |
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
| AB |
∴
| AD |
| AB |
| AD |
| AB |
（2）假设存在实数m，使得m
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
∴m
| e1 |
| e1 |
| e2 |
| e2 |
∵|
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
∴
| e1 |
| e1 |
| e2 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
∴4m+3（1-m）-9=0，
∴m=6，故存在实数m=6，使得m
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
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