题目内容

设两个非零向量e1和e2不共线．
（1）如果
AB
=
e1
-
e2
，
BC
=3
e1
+2
e2
，
CD
=-8
e1
-2
e2
，求证：A、C、D三点共线；
（2）如果
AB
=
e1
+
e2
，
BC
=
2e1
-
3e2
，
CD
=2
e1
-k
e2
，且A、C、D三点共线，求k的值．
分析：（1）利用向量的运算法则求出
AC
，利用向量共线的充要条件判断出
AC
∥
CD
，进一步得到三点共线．
（2）利用向量的运算法则求出
AC
，据三点共线判断出两个向量共线，利用向量共线的充要条件列出方程，利用平面向量的基本定理求出λ，k的值．
解答：（1）证明
AB
=
e1
-
e2
，
BC
=3
e1
+2
e2
，
CD
=-8
e1
-2
e2
，
AC
=
AB
+
BC
=4
e1
+
e2
=-
1
2
（-8
e1
-2
e2
）=-
1
2
CD
，
∴
AC
与
CD
共线，
又∵
AC
与
CD
有公共点C，
∴A、C、D三点共线．

（2）解
AC
=
AB
+
BC
=（
e1
+
e2
）+（
2e1
-
3e2
）=3
e1
-2
e2
，
∵A、C、D三点共线，
∴
AC
与
CD
共线，
从而存在实数λ使得
AC
=λ
CD
，
即3
e1
-2
e2
=λ（
2e1
-k
e2
）
由平面向量的基本定理，得
3=2λ
-2=-λk
，
解之得λ=
3
2
，k=
4
3
．
点评：本题考查向量的运算法则、向量共线的充要条件、利用向量共线解决三点共线、平面向量的基本定理．
练习册系列答案
相关题目
设两个非零向量
e1
和
e2
不共线．
（1）如果
AB
=
e1
+
e2
，
BC
=2
e1
+8
e2
，
CD
=3
e1
-3
e2
，求证：A、B、D三点共线；
（2）若|
e1
|=2，|
e2
|=3，
e1
与
e2
的夹角为60°，是否存在实数m，使得m
e1
+
e2
与
e1
-
e2
垂直？
（1）化简：
sin(
π
2
+α)•cos(
π
2
-α)
cos(π-α)
+
sin(π-α)•sin(-α)
sin(π+α)
；
（2）设两个非零向量
e1
和
e2
不共线，且
AB
=
e1
+2
e2
，
BC
=-2
e1
+3
e2
，
CD
=5
e1
+3
e2
，求证：A，B，D三点在同一直线上．
（1）已知|
a
|=4，|
b
|=3，(2
a
-3
b
)•(2
a
+
b
)=61，求
a
•
b
的值；
（2）设两个非零向量
e1
和
e2
不共线．如果
AB
=
e1
+
e2
，
BC
=2
e1
+8
e2
，
CD
=3
e1
-3
e2
，
求证：A、B、D三点共线．

设两个非零向量e1和e2不共线.

（1）如果=e1-e2，=3e1+2e2，=-8e1-2e2，

求证：A、C、D三点共线；

（2）如果=e1+e2，=2e1-3e2，=2e1-ke2，且A、C、D三点共线，求k的值.

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