Question

设椭圆的右焦点为，直线与 轴交于点，若（其中为坐标原点）．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设是椭圆上的任意一点，为圆的任意一条直径（,为直径的两个端点），求的最大值．

Answer 1

解：（I）由题设知，，，………………………………2分
由，得．…………………………………4分
解得．所以椭圆的方程为．………………………………………6分
（Ⅱ）解法1：设圆的圆心为，
则 
．……………………………………………………………9分
设是椭圆上一点，则，
所以． ……………………………………………12分
因为，所以当时，取得最大值12．
所以的最大值为11．……………………………………………………………………15分
解法2：设点，所以，可得
 
．…
因为点在圆上，所以，即．
又因为点在椭圆上，所以，即．
所以．
因为，所以当时，．

略