Question

12．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2cos²x，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{b}$=（1，sin2x），函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-1．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期以及单调递增区间；
（Ⅱ）求方程f（x）=k，（0＜k＜2），在$[-\frac{π}{12}，\frac{23π}{12}]$内的所有实数根之和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后求解函数f（x）的最小正周期以及单调递增区间；
（Ⅱ）利用函数的对称性以及函数的周期求解即可．

解答 （本题满分12分）
解：（I）∵向量$\overrightarrow{a}$=（2cos²x，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{b}$=（1，sin2x），
f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$-1=$2{cos^2}x+\sqrt{3}sin2x-1$…（1分）
=$cos2x+\sqrt{3}sin2x$=$2sin（2x+\frac{π}{6}）$，…（3分）
∴$T=\frac{2π}{2}=π$；…（4分）
由-$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z，
得$-\frac{π}{3}+kπ≤x≤\frac{π}{6}+kπ$，k∈Z．
所以，f（x）的单调增区间为：[-$\frac{π}{3}+kπ$，$\frac{π}{6}$+kπ]，k∈Z． （7分）
（II） 由方程f（x）=k，（0＜k＜2），得$sin（2x+\frac{π}{6}）=\frac{k}{2}$．
∵$sin（2x+\frac{π}{6}）$的周期T=π，又$\frac{23π}{12}-（-\frac{π}{12}）=2π$，
∴$sin（2x+\frac{π}{6}）$在$[-\frac{π}{12}，\frac{23π}{12}]$内有2个周期．…（9分）
∵$0＜\frac{k}{2}＜1$，
∴方程$sin（2x+\frac{π}{6}）=\frac{k}{2}$在$[-\frac{π}{12}，\frac{23π}{12}]$内有4个实根，…（10分）
且${x_1}+{x_2}=\frac{π}{3}$，${x_3}+{x_4}=\frac{7π}{3}$，…（11分）
∴所有实数根之和：x₁+x₂+x₃+x₄+x₅+x₆=$\frac{8π}{3}$．…（12分）

点评 本题考查两角和与差的三角函数，向量的数量积以及函数的周期，函数与方程的根的关系，考查转化思想以及计算能力．