Question

2．已知函数f（x）满足x，y∈R时，f（xy）=f（x）•f（y）恒成立．且当x＞1时f（x）＞1．若f（x）≠0．证明：f（x）在（0，+∞）上单调递增．

Answer 1

分析 令y=x，先判断当x＞0时，f（x）＞0，然后根据函数单调性的定义进行证明即可．

解答 证明：当x＞0，y＞0时，令y=x，则f（x²）=f（x）•f（x）=f²（x），
∵f（x）≠0，
∴f（x²）=f²（x）＞0，
即当x＞0时，f（x）＞0，
设0＜x₁＜x₂，则$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，即f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＞1，
则$\frac{f（{x}_{2}）}{f（{x}_{1}）}$=$\frac{f（\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}•{x}_{1}）}{f（{x}_{1}）}$=$\frac{f（\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}）•f（{x}_{1}）}{f（{x}_{1}）}$=f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＞1，
即f（x₂）＞f（x₁），
则f（x）在（0，+∞）上单调递增．

点评 本题主要考查函数单调性的判断和证明，根据抽象函数的关系结合函数单调性的定义是解决本题的关键．