Question

【题目】已知直线与圆交于，两点，过点的直线与圆交于，两点.

若直线垂直平分弦，求实数的值；

已知点，在直线上（为圆心），存在定点（异于点），满足：对于圆上任一点，都有为同一常数，试求所有满足条件的点的坐标及该常数.

Answer 1

【答案】；在直线上存在定点使得为常数.

【解析】

化简圆的方程为标准方程，求出圆的半径，转化求解实数的值；

设直线上的点，取直线与圆的交点，则，

取直线与圆的交点，则，然后求解存在这样的定点，进而求证结论.

解：依题意，圆C方程变形为，圆心，半径

又直线l的方程即为

因为垂直平分弦，圆心必在直线上

过点和，斜率，

设直线上的点取直线与圆的交点，则

取直线与圆的交点，则.

令，解得或（舍去，与重合），此时

若存在这样的定点满足题意，则必为

下证：点满足题意.设圆上任意一点，则

综上可知，在直线上存在定点使得为常数.