Question

7．已知函数f（x）=2sinxcosx+2$\sqrt{3}$sin²x，x∈R，则函数f（x）的单调递增区间为[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]（k∈Z）．

Answer 1

分析 利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的增区间求得函数f（x）的单调递增区间．

解答 解：∵函数f（x）=2sinxcosx+2$\sqrt{3}$sin²x=sin2x+2$\sqrt{3}$•$\frac{1-cos2x}{2}$=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x+$\sqrt{3}$=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$，x∈R，
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$，故函数f（x）的单调递增区间为为[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]，k∈Z，
故答案为：[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]（k∈Z）．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的增区间，属于基础题．