题目内容

已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的斜率为
3
，离心率为e，则
a2+e
b
的最小值为
 
．
分析：双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的斜率为
3
，可得
b
a
=
3
，利用离心率为e=
c
a
=
1+
b2
a2
即可得出e，于是
a2+e
b
=
a2+2
3
a
，利用基本不等式即可得出．
解答：解：∵双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的斜率为
3
，∴
b
a
=
3
，
∴离心率为e=
c
a
=
1+
b2
a2
=
1+(
3
)2
=2．
∴
a2+e
b
=
a2+2
3
a
=
3
3
(a+
2
a
)≥
3
3
×2
a•
2
a
=
2
6
3
，当且仅当a=
2
时取等号．
∴
a2+e
b
的最小值为
2
6
3
．
故答案为
2
6
3
．
点评：本题考查了双曲线的标准方程及其性质、基本不等式，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知双曲线
x2
a2
-
y2
7
=1，直线l过其左焦点F1，交双曲线的左支于A、B两点，且|AB|=4，F2为双曲线的右焦点，△ABF2的周长为20，则此双曲线的离心率e=
 
．
已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且该双曲线的离心率为
5
，则该双曲线的渐近线方程为（　　）
已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(b＞a＞0)，O为坐标原点，离心率e=2，点M(
5
，
3
)在双曲线上．
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线l与双曲线交于P，Q两点，且
OP
•
OQ
=0．问：
1
|OP|2
+
1
|OQ|2
是否为定值？若是请求出该定值，若不是请说明理由．
（1）已知直线l：kx-y+1+2k=0（k∈R），则该直线过定点
（-2，1）
（-2，1）
；
（2）已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1的一条渐近线方程为y=
4
3
x，则双曲线的离心率为
5
3
5
3
．
已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）满足| 
a1
b
2
 |=0，且双曲线的右焦点与抛物线y2=4
3
x的焦点重合，则该双曲线的方程为
 
．

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