题目内容

若函数y=sinx+cosx的定义域为[a，b]，值域为 $数学公式$ ，则b-a的取值范围是

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

C
分析：依题意，可求得a+ $\text{[math]}$ ≤x+ $\text{[math]}$ ≤b+ $\text{[math]}$ ，利用正弦函数的性质即可求得答案．
解答：∵y=sinx+cosx= $\text{[math]}$ sin（x+ $\text{[math]}$ ），
又a≤x≤b，
∴a+ $\text{[math]}$ ≤x+ $\text{[math]}$ ≤b+ $\text{[math]}$ ，
又-1≤ $\text{[math]}$ sin（x+ $\text{[math]}$ ）≤ $\text{[math]}$ ，
∴- $\text{[math]}$ ≤sin（x+ $\text{[math]}$ ）≤1．
在正弦函数y=sinx的一个周期内，要满足上式，
则- $\text{[math]}$ ≤x+ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ，
∴（b-a）_max= $\text{[math]}$ -（- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，
（b-a）_min= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
故选C．
点评：本题考查两角和与差的正弦函数，突出考查正弦函数的单调性，由- $\text{[math]}$ ≤sin（x+ $\text{[math]}$ ）≤1探究x+ $\text{[math]}$ 的范围是关键，也是难点，考查分析与思维能力，属于难题．