Question

已知α为锐角且tan(

π

4

+α)=2，
（1）求tanα的值；
（2）求

2 sin(2α+ π 4 )cosα-sinα

cos2α

的值．

Answer 1

分析：（1）利用两角和的正切公式，结合题意解关于tanα的方程，即可得tanα的值；
（2）根据二倍角的三角函数公式，将原式化简可得原式等于cosα+sinα．再由同角三角函数的关系，结合（1）的结论加以计算，即可算出原式的值．

解答：解：（1）∵tan(

π

4

+α)=2
∴

tan π 4 +tanα

1-tan π 4 tanα

=2，即

1+tanα

1-tanα

=2，
解之得tanα=

1

3

；
（2）

2 sin(2α+ π 4 )cosα-sinα

cos2α

=

cosα(sin2α+cos2α)-sinα

cos2α-sin2α

=

2co s2αsinα+cos2αcosα-sinα

cos2α-sin2α

=

cos2α(cosα+sinα)

cos2α-sin2α

=cosα+sinα
∵知α为锐角且tanα=

1

3

∴sinα=

10

10

，cosα=

3 10

10

，可得cosα+sinα=

2

5

10

．

点评：本题已知tan(

π

4

+α)=2，求tanα并求三角函数式的值，着重考查了同角三角函数基本关系和二倍角的正弦、余弦公式等知识，属于中档题．