Question

（本小题满分14分）

已知

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）判断并证明的奇偶性与单调性;

（Ⅲ）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围。

 

Answer 1

【答案】

（1）则；（2）函数为奇函数。证明见解析。

（3）．

【解析】

试题分析：（1）利用换元法：令t=log_ax⇒x=a^t，代入可得f（t）从而可得函数f（x）的解析式

（2）由（1）得f（x）定义域为R，可求函数的定义域，先证奇偶性：代入f（-x）=-f(x)，从而可得函数为奇函数。再证单调性：利用定义任取x₁＜x₂，利用作差比较f（x₁）-f（x₂）的正负，从而确当f（x₁）与f（x₂）的大小，进而判断函数的单调性

（3）根据上面的单调性的证明以及定义域得到不等式的求解。

解：（1）令

则  ………3分

（2）

∴函数为奇函数。                         ………5分

当，任取

－

==

=

，

类似可证明当，综上，无论，上都是增函数。                                                                ………9分

（3）不等式化为

∵上都是增函数，∴恒成立

即对恒成立，∴

故的取值范围．                               ………14分

考点：本试题主要考查了函数性质的三点：①利用换元法求函数的解析式，这是求函数解析式中最为重要的方法，要注意掌握，解答此类问题的注意点：换元后要确定新元的范围，从而可得所要求的函数的定义域②函数奇偶性的判断。

点评：解题的关键是利用奇偶性的定义③利用定义判断函数单调性的步骤（i）任设x₁＜x₂（也可x₁＞x₂）（ii）作差f（x₁）-f（x₂）（iii）定号，给出结论．