Question

【题目】已知函数．

（Ⅰ）当时，求函数在，上的最大值；

（Ⅱ）讨论函数的零点的个数．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）f（x）max＝9﹣4e-2.

（Ⅱ）见解析

【解析】

（Ⅰ）a＝1时，f（x）＝（x﹣1）2+（x﹣2）ex，可得f′（x）＝（x﹣1）（ex+2），利用导数研究函数的单调性即可得出最值．

（Ⅱ）令a（x﹣1）2+（x﹣2）ex＝0，则a（x﹣1）2＝（2﹣x）ex，讨论f（x）＝a（x﹣1）2+（x﹣2）ex的零点个数，即转化为讨论函数y＝a（x﹣1）2与函数g（x）＝（2﹣x）ex的图象交点个数．画出函数g（x）＝（2﹣x）ex的图象大致如图．对a分类讨论即可得出a＞0时，f（x）＝a（x﹣1）2+（x﹣2）ex有两个零点，当a<0时，对a分类讨论研究f(x)的图象的变化趋势得出结论.

（Ⅰ）a＝1时，f（x）＝（x﹣1）2+（x﹣2）ex，

可得f′（x）＝2（x﹣1）+（x﹣1）ex＝（x﹣1）（ex+2），

由f′（x）＞0，可得x＞1；由f′（x）＜0，可得x＜1，

即有f（x）在（﹣∞，1）递减；在（1，+∞）递增，

所以f（x）在[﹣2，1]单调递减，在[1，2]上单调递增，

所以f（x）min＝f（1）＝﹣e，又f（﹣2）＝9﹣4e-2＞f（2）＝1

所以f（x）max＝9﹣4e-2.

（Ⅱ）讨论f（x）＝a（x﹣1）2+（x﹣2）ex的零点个数，令a（x﹣1）2+（x﹣2）ex＝0，则a（x﹣1）2＝（2﹣x）ex,转化为讨论函数y＝a（x﹣1）2与g（x）＝（2﹣x）ex的图象交点个数，由g（x）＝（2﹣x）ex，可得g′（x）＝（1﹣x）ex．由单调性可得：g（x）图象大致如右图：

所以当a=0时，y＝a（x﹣1）2=0与g（x）＝（2﹣x）ex图象只有一个交点，

a＞0时，y＝a（x﹣1）2与函数g（x）＝（2﹣x）ex有两个交点，

当a<0时，f′（x）＝2a（x﹣1）+（x﹣1）ex＝（x﹣1）（ex+2a），

当a=-时，f′（x）恒成立，f（x）在（﹣∞，+∞）递增，又f（1）=-e<0,

f（3）=-e3=-e3>0，此时f（x）＝a（x﹣1）2+（x﹣2）ex有一个零点.

当a-时，f′（x）＝0的两根为1，ln(-2a),

当1<ln(-2a)时，f（x）在（﹣∞，1）递增；在（1，ln(-2a)）上递减，在（ln(-2a)，+∞）递增，又f（1）=-e<0,又存在=,使+(a-2)x-a=0,+(a-2)x-a]x=0,而+(a-2)x-a]x=ax(x-1)+(x-2)<a（x﹣1）2+（x﹣2）ex= f（x）,所以f（）>0,

此时f（x）＝a（x﹣1）2+（x﹣2）ex有一个零点.

当1>ln(-2a)时，f（x）在（﹣∞， ln(-2a)）递增；在（ln(-2a),1）上递减，在（1，+∞）递增，又f(ln(-2a))= a[(ln(-2a)﹣1]2-2a[(ln(-2a)﹣2]=a[-4(ln(-2a)+5]<0,

又f（1）=-e<0,同样有f（）>0,

所以此时f（x）＝a（x﹣1）2+（x﹣2）ex有一个零点.

综上当a＞0时，f（x）＝a（x﹣1）2+（x﹣2）ex有两个零点

a≤0时，f（x）＝a（x﹣1）2+（x﹣2）ex有一个零点.