题目内容

已知向量
a
=（1-tanx，1），
b
=（1+sin2x+cos2x，-3），记f（x）=
a
•
b

（1）求f（x）的值域及最小正周期；
（2）若f(
α
2
)-f(
α
2
+
π
4
)=
6
，其中α∈(0， 
π
2
)，求角α．
分析：（1）先利用向量的数量积的坐标运算求得函数的解析式，并化简，即可求得其值域及其最小正周期．
（2）由f(
α
2
)-f(
α
2
+
π
4
)=
6
，利用两角和的正弦公式化简，得sin(α+
π
4
)=
3
2
，结合α的范围，解得角α的值．
解答：解：（1）根据条件可知：
f（x）=（1-tanx）•（1+sin2x+cos2x）-3=
cosx-sinx
cosx
(2cos2x+2sinxcosx)-3=2（cos2x-sin2x）-3=2cos2x-3
因为f（x）的定义域为{x|x≠kπ+
π
2
， k∈Z}，
∴-1＜cos2x≤1∴-5＜2cos2x-3≤-1
∴f（x）的值域为（-5，-1]，f（x）的最小正周期为π．

（2）f(
α
2
)-f(
α
2
+
π
4
)=2cosα-2cos(α+
π
2
)=2(cosα+sinα)=2
2
sin(α+
π
4
)=
6
．
所以，sin(α+
π
4
)=
3
2
，又因为α∈(0， 
π
2
)，所以α+
π
4
=
π
3
或α+
π
4
=
2π
3
，
所以α=
π
12
或α=
5π
12
．
点评：本题考查余弦函数的单调性，向量的数量积运算，以及三角函数的化简求值，在求函数的值域时注意函数的定义域，是个中档题．
练习册系列答案
相关题目
在平面直角坐标系中，已知向量
a
=（-1，2），又点A（8，0），B（n，t），C（ksinθ，t）(0≤θ≤
π
2
)．
（1）若
AB
⊥
a
，且|
AB
|=
5
|
OA
|(O为坐标原点），求向量
OB
；
（2）若向量
AC
与向量
a
共线，当k＞4，且tsinθ取最大值4时，求
OA
•
OC
．
已知向量 
a
=（1，2），
b
=（cosα，sinα），设
m
=
a
+t
b
（t为实数）．
（1）若α=
π
4
，求当|
m
|取最小值时实数t的值；
（2）若
a
⊥
b
，问：是否存在实数t，使得向量
a
-
b
和向量
m
的夹角为
π
4
，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
（3）若
a
⊥
m
，求实数t的取值范围A，并判断当t∈A时函数f（t）=（t，-3）•（t2，t）的单调性．
已知向量
a
=（-1，2），
b
=（1，1），t∈R．
（I）求＜
a
，
b
＞；  （II）求|
a
+t
b
|的最小值及相应的t值．
已知圆C：x2+y2=2，坐标原点为O．圆C上任意一点A在x轴上的射影为点B，已知向量
OQ
=t
OA
+(1-t)
OB
(t∈R，t≠0)．
（1）求动点Q的轨迹E的方程；
（2）当t=
2
2
时，过点S（0，-
1
3
）的动直线l交轨迹E于A，B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过T点？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
已知向量
a
=（1，2），
b
=(cosα，sinα)，设
m
=
a
+t
b
（t为实数）．
（1）若
a
与
b
共线，求tanα的值；
（2）若α=
π
4
，求当|
m
|取最小值时实数t的值．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网