Question

已知向量

a

=（1，2），

b

=(cosα，sinα)，设

m

=

a

+t

b

（t为实数）．
（1）若

a

与

b

共线，求tanα的值；
（2）若α=

π

4

，求当|

m

|取最小值时实数t的值．

Answer 1

分析：（1）由向量共线可得sinα-2cosα=0，变形可得所求；
（2）把α=

π

4

代入可得

m

=

a

+t

b

的坐标，由模长公式可得|

m

，由二次函数的性质可得．

解答：解：（1）∵

a

=（1，2），

b

=(cosα，sinα)，且

a

与

b

共线，
∴sinα-2cosα=0，即sinα=2cosα，
∴tanα=

sinα

cosα

=2
（2）当α=

π

4

时，

b

=(

2

2

，

2

2

)，
∴

m

=

a

+t

b

=（1+

2

2

t，2+

2

2

t），
∴|

m

|=

(1+ 2 2 t)2+(2+ 2 2 t)2

=

t2+3 2 t+5

由二次函数的知识可知当t=-

3 2

2×1

=-

3 2

2

时，|

m

|取最小值．

点评：本题考查平面向量的平行与共线，涉及向量的模长公式以及二次函数的最值问题，属基础题．