题目内容
已知向量
=（1，2），
=（cosα，sinα），设
=
+t
（t为实数）．
（1）若α=
，求当|
|取最小值时实数t的值；
（2）若
⊥
，问：是否存在实数t，使得向量
-
和向量
的夹角为
，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
（3）若
⊥
，求实数t的取值范围A，并判断当t∈A时函数f（t）=（t，-3）•（t2，t）的单调性．
| a |
| b |
| m |
| a |
| b |
（1）若α=
| π |
| 4 |
| m |
（2）若
| a |
| b |
| a |
| b |
| m |
| π |
| 4 |
（3）若
| a |
| m |
分析：（1）先把a=
代入求出向量
的坐标，再把 |
转化为
=
，把所求结论以及已知条件代入得到关于实数t的二次函数，利用配方法求出 |
的最小值以及实数t的值；
（2）先利用向量垂直求出 |
-
|以及 |
+t
|和（
-
）（
+t
），代入cos45°=
，可得关于实数t的方程，解方程即可求出实数t．
（3）利用向量垂直的条件得到t的范围，再利用导数判断函数的单调性．
| π |
| 4 |
| b |
| m| |
(
|
5+t2+2t
|
| m| |
（2）先利用向量垂直求出 |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
(
| ||||||||
|
|
（3）利用向量垂直的条件得到t的范围，再利用导数判断函数的单调性．
解答：解：（1）因为a=
，所以
=（
，
），
•
=
，
则 |
=
=
=
=
所以当 t=-
时，|
取到最小值，最小值为
．
（2）由条件得cos45°=
，
又因为 |
-
|=
=
，|
+t
|=
=
，
（
-
）（
+t
）=5-t，则有
=
，且t＜5，
整理得t2+5t-5=0，所以存在t=
满足条件．
（3）由题意可得：
=（1+tcosα，2+tsinα），
因为
⊥
，
所以5+t（cosα+2sinα）=0，即5+
tsin（α+φ）=0
∵|sin（α+φ）|≤1
∴|t|≥
，
∴t≥
或t≤-
，
又f（t）=（t，-3）•（t2，t），
∴f（t）=t3-3t
所以f′（t）=3t2-3，
因为t≥
或t≤-
，
所以f′（t）=3t2-3＞0，
所以函数f（t）在[
，+∞)，(-∞，-
]上是增函数．
| π |
| 4 |
| b |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
| a |
| b |
2
| ||
| 3 |
则 |
| m| |
(
|
5+t2+2t
|
t2+3
|
(t+
|
所以当 t=-
3
| ||
| 2 |
| m| |
| ||
| 2 |
（2）由条件得cos45°=
(
| ||||||||
|
|
又因为 |
| a |
| b |
(
|
| 6 |
| a |
| b |
(
|
| 5+t2 |
（
| a |
| b |
| a |
| b |
| 5-t | ||||
|
| ||
| 2 |
整理得t2+5t-5=0，所以存在t=
-5±3
| ||
| 2 |
（3）由题意可得：
| m |
因为
| a |
| m |
所以5+t（cosα+2sinα）=0，即5+
| 5 |
∵|sin（α+φ）|≤1
∴|t|≥
| 5 |
∴t≥
| 5 |
| 5 |
又f（t）=（t，-3）•（t2，t），
∴f（t）=t3-3t
所以f′（t）=3t2-3，
因为t≥
| 5 |
| 5 |
所以f′（t）=3t2-3＞0，
所以函数f（t）在[
| 5 |
| 5 |
点评：本题主要考查平面向量的数量积与二次函数的一个现在，以及利用导数判断函数的单调性．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
=（1，0），
=（-
，3），则向量
、
的夹角为（ ）
| a |
| b |
| 3 |
| a |
| b |
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|