题目内容

11．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$-lnx．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）求函数f（x）在[1，e]上的最大值和最小值．

分析 （1）求出函数的定义域与导数，求出极值点，然后求解函数的极值．
（2）利用（1）求解函数的最值即可．

解答 解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
且f′（x）=x-$\frac{1}{x}$=$\frac{（x+1）（x-1）}{x}$，（3分）
令f′（x）=0，可得x=1或x=-1（舍去），当x∈（0，1）时，函数单调递减；x∈（1，+∞）时，单调递增．
所以f（x）在x=1处取得极小值为$\frac{1}{2}$．   （8分）
（2）由（1）可知函数f（x）在[1，e]上为增函数，（9分）
∴f（x）min=f（1）=$\frac{1}{2}$，f（x）max=f（e）=$\frac{1}{2}e{\;}^2-1$．（12分）

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值以及函数的最值的求法，考查计算能力．

练习册系列答案
相关题目
1．已知函数f（x）=（x-k）ex（k∈R）．
（1）求f（x）的单调区间和极值；
（2）求f（x）在x∈[1，2]上的最小值；
（3）设g（x）=f（x）+f′（x），若对${?^{\;}}^{\;}k∈[{\frac{3}{2}，\frac{5}{2}}]$及?x∈[0，1]有g（x）≥λ恒成立，求实数λ的取值范围．
2．已知函数f（x）=|a2x2-1|+ax，（其中a∈R，a≠0）．
（1）当a＜0时，若函数y=f（x）-c恰有x1，x2，x3，x4这4个零点，求x1+x2+x3+x4的值；
（2）当x∈[-1，1]时，求函数y=f（x）（其中a＜0）的最大值M（a）．
19．设函数f（x）=kax-a-x（a＞0且a≠1，k∈R），f（x）是定义域为R的奇函数．
（1）求k的值．
（2）判断并证明当a＞1时，函数f（x）在R上的单调性；
（3）已知a=3，若f（3x）≥λ•f（x）对于x∈[1，2]时恒成立．请求出最大的整数λ．
6．23000的末两位数是（　　）
A．46B．56C．66D．76
16．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C1和直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ，ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$．
（1）求圆C1和直线C2的直角坐标方程．
（2）求圆C1和直线C2交点的极坐标．
3．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且α∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]，则该椭圆离心率e的取值范围为$[\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\sqrt{3}-1]$．
20．已知向量$\overrightarrow m$=（$\sqrt{3}sin\frac{x}{4}$，1），$\overrightarrow n$=（cos$\frac{x}{4}$，${cos^2}\frac{x}{4}$），记f（x）=$\overrightarrow m•\overrightarrow n$．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）将函数y=f（x）的图象向右平移$\frac{2π}{3}$个单位得到y=g（x）的图象，讨论函数y=g（x）-k在$[0，\frac{7π}{3}]$的零点个数．
1．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{1}{2}$，且点$（1，\frac{3}{2}）$在椭圆上，
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知A为椭圆C的左顶点，直线l过右焦点F2与椭圆C交于M，N两点，若AM，AN的斜率k1，k2满足k1+k2=-1，求直线l的方程．

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