Question

1．已知函数f（x）=（x-k）e^x（k∈R）．
（1）求f（x）的单调区间和极值；
（2）求f（x）在x∈[1，2]上的最小值；
（3）设g（x）=f（x）+f′（x），若对${?^{\;}}^{\;}k∈[{\frac{3}{2}，\frac{5}{2}}]$及?x∈[0，1]有g（x）≥λ恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=（x-k）e^x，求导f′（x）=（x-k+1）e^x，令f′（x）=0，求得x=k-1，令f′（x）＜0，解得函数的单调递减区间，f′（x）＞0，解得函数的单调递增区间，根据函数的单调性即可求得f（x）的极值；
（2）当k-1≤1时，f（x）在[1，2]单调递增，f（x）的最小值为f（1），当k-1≥2时，f（x）在[1，2]单调递减，f（x）的最小值为f（2），当1＜k-1＜2时，则x=k-1时，f（x）取最小值，最小值为：-e^k-1；
（3）由g（x）=（2x-2k+1）e^x，求导g′（x）=（2x-2k+3）e^x，当g′（x）＜0，解得：x＜k-$\frac{3}{2}$，求得函数的单调递减区间，当g′（x）＞0，解得：x＞k-$\frac{3}{2}$，求得函数的单调递增区间，由题意可知g（x）≥λ，?x∈[0，1]恒成立，等价于g（k-$\frac{3}{2}$）=-2e${\;}^{k-\frac{3}{2}}$≥λ，由-2e${\;}^{k-\frac{3}{2}}$≥λ，对?k∈[$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$]恒成立，根据函数的单调性，即可求得实数λ的取值范围．

解答 解：（1）f（x）=（x-k）e^x（k∈R），求导f′（x）=（x-k）e^x+e^x=（x-k+1）e^x，
令f′（x）=0，解得：x=k-1，
当x＜k-1时，f′（x）＜0，
当x＞k-1时，f′（x）＞0，

x	（-∞，k-1）	k-1	（k-1，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↓	-e-k-1	↑

∴f（x）的单调递增区间（k-1，+∞），单调递减区间（-∞，k-1），极小值为-e^k-1，无极大值；
（2）当k-1≤1时，即k≤2时，f（x）在[1，2]单调递增，
f（x）的最小值为f（1）=（1-k）e；
当k-1≥2时，即k≥3时，f（x）在[1，2]单调递减，
∴当x=2时，f（x）的最小值为f（2）=（2-k）e³；
当1＜k-1＜2时，解得：2＜k＜3时，
∴f（x）在[1，k-1]单调递减，在[k-1，2]单调递增，
∴当x=k-1时，f（x）取最小值，最小值为：-e^k-1；
（3）g（x）=f（x）+f'（x）=（x-k）e^x+（x-k+1）e^x=（2x-2k+1）e^x，
求导g′（x）=（2x-2k+1）e^x+2e^x=（2x-2k+3）e^x，
令g′（0）=0，2x-2k+3=0，x=k-$\frac{3}{2}$，
当x＜k-$\frac{3}{2}$时，g′（x）＜0，
当x＞k-$\frac{3}{2}$时，g′（x）＞0，
∴g（x）在（-∞，k-$\frac{3}{2}$）单调递减，在（k-$\frac{3}{2}$，+∞）单调递增，
故当x=k-$\frac{3}{2}$，g（x）取最小值，最小值为：g（k-$\frac{3}{2}$）=-2e${\;}^{k-\frac{3}{2}}$，
∵k∈[$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$]，即k-$\frac{3}{2}$∈[0，1]，
∴?x∈[0，1]，g（x）的最小值，g（k-$\frac{3}{2}$）=-2e${\;}^{k-\frac{3}{2}}$，
∴g（x）≥λ，?x∈[0，1]恒成立，等价于g（k-$\frac{3}{2}$）=-2e${\;}^{k-\frac{3}{2}}$≥λ，
由-2e${\;}^{k-\frac{3}{2}}$≥λ，对?k∈[$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$]恒成立，
∴λ≤（-2e${\;}^{k-\frac{3}{2}}$）最小值，
令h（k）=-2e${\;}^{k-\frac{3}{2}}$，k∈[$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$]，
由指数函数的性质，函数h（k）在k∈[$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$]单调递增，
∴当k=$\frac{5}{2}$时，h（k）取最小值，h（$\frac{5}{2}$）=-2e，
∴λ≤-2e．
∴实数λ的取值范围（-∞，-2e）．

点评 本题考查利用到时研究函数的单调性和在闭区间上的最值，考查函数导数的运算，考查转化思想，考查计算能力，属于难题．