Question

16．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C₁和直线C₂的极坐标方程分别为ρ=4sinθ，ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$．
（1）求圆C₁和直线C₂的直角坐标方程．
（2）求圆C₁和直线C₂交点的极坐标．

Answer 1

分析 （1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ²=x²+y²，以及两角差的余弦公式，化简整理即可得到所求直角坐标方程；
（2）联立直线和圆方程，解得交点，化为极坐标即可．

解答 解：（1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ²=x²+y²，
ρ=4sinθ，即为ρ²=4ρsinθ，
即有x²+y²=4y；
ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$，即为ρ（$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosθ+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinθ）=2$\sqrt{2}$，
即x+y=4，
即有${C_1}：{x^2}+{（y-{2^{\;}}）^2}=4$，C₂：x+y-4=0；
（2）将直线和圆的方程联立后，
即$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}-4y=0}\end{array}\right.$
解得直角坐标为（0，4），（2，2），
则交点的极坐标为（4，$\frac{π}{2}$），（2$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$） （注：极坐标表示法不唯一）．

点评 本题考查直角坐标方程和极坐标方程的互化，直线和圆的交点坐标求法，考查运算能力，属于基础题．