题目内容
2．已知函数f（x）=|a2x2-1|+ax，（其中a∈R，a≠0）．（1）当a＜0时，若函数y=f（x）-c恰有x1，x2，x3，x4这4个零点，求x1+x2+x3+x4的值；
（2）当x∈[-1，1]时，求函数y=f（x）（其中a＜0）的最大值M（a）．
分析 （1）函数y=f（x）-c的零点可转化为函数f（x）=|a2x2-1|+ax的图象与直线y=c的交点问题，运用绝对值意义和二次函数图象及二次方程韦达定理，即可得到所求值；
（2）运用分段函数表示f（x），结合图象分析函数的单调性，即可得到f（x）在[-1，1]的最大值．
解答 解：（1）函数y=f（x）-c的零点可转化为
函数f（x）=|a2x2-1|+ax的图象与直线y=c的交点问题．
当a2x2≥1即|x|≥-$\frac{1}{a}$时，f（x）=a2x2+ax-1=（ax+$\frac{1}{2}$）2-$\frac{5}{4}$；
当a2x2＜1即|x|＜-$\frac{1}{a}$时，f（x）=-a2x2+ax+1=-（ax-$\frac{1}{2}$）2+$\frac{5}{4}$．
显然当1＜c＜$\frac{5}{4}$时，y=f（x）-c有4个零点，
依次设为x1，x2，x3，x4，
则x1，x4是方程a2x2+ax-1=c的2个根，从而${x_1}+{x_4}=-\frac{1}{a}$，
由x2，x3是方程-a2x2+ax+1=c的2个根，知x2+x3=$\frac{1}{a}$，
从而x1+x2+x3+x4=0．
（2）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}{x}^{2}+ax-1，|x|≥-\frac{1}{a}}\\{-{a}^{2}{x}^{2}+ax+1，|x|＜-\frac{1}{a}}\end{array}\right.$，
结合图形分析可得f（x）在$（{-∞，\frac{1}{a}}]$，$[{\frac{1}{2a}，-\frac{1}{a}}]$上单调递减，
在$[{\frac{1}{a}，\frac{1}{2a}}]，[{-\frac{1}{a}，+∞}）$上单调递减，此时M（a）=f（$\frac{1}{2a}$）=$\frac{5}{4}$．
当$-1＜\frac{1}{a}$，即a＜-1时，f（x）在[-1，$\frac{1}{a}$]，[$\frac{1}{2a}$，-$\frac{1}{a}$]上单调递减，
f（x）在$[{\frac{1}{a}，\frac{1}{2a}}]，[{-\frac{1}{a}，1}]$上单调递增，此时
M（a）=max{f（-1），f（$\frac{1}{2a}$），f（1）}
=max{a2-a-1，$\frac{5}{4}$，a2+a-1}
=max{a2-a-1，$\frac{5}{4}$}=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-a-1，a≤\frac{1-\sqrt{10}}{2}}\\{\frac{5}{4}，\frac{1-\sqrt{10}}{2}＜a＜-1}\end{array}\right.$，
综上述，
M（a）=$\left\{\begin{array}{l}{-{a}^{2}-a+1，-\frac{1}{2}≤a＜0}\\{\frac{5}{4}，a＜-\frac{1}{2}}\\{{a}^{2}-a-1，a≤\frac{1-\sqrt{10}}{2}}\end{array}\right.$．
点评 本题考查函数零点问题的解法，注意运用数形结合方法，考查化简运算能力，属于难题．
已知直线l1：y=x-1与圆C：（x+a）2+y2=a2（a＞0）相交于A、B两点，|AB|=2，直线l2∥l1，直线l2与圆C相交于D、E两点．